Libri di Carmen Carano

Il testo introduce in maniera unitaria gli insiemi successivi a quello dei numeri reali, costruendo gli elementi di tali insiemi mediante la formula di Cayley-Dickson, in modo che, ampliando opportunamente la definizione di ricorsività, potrà essere considerato ricorsivo. Analizza quindi, prima per i quaternioni e poi in generale per qualunque insieme ipercomplesso, le quattro operazioni fondamentali, evidenziando in particolare come quanto ottenuto per il prodotto di ipercomplessi immaginari permetta di superare l'apparente incongruenza tra il prodotto di due unità immaginarie uguali e il prodotto di due unità immaginarie diverse, e di definire il prodotto e il quoziente di due vettori. Affronta poi la questione della non validità, a partire dai quaternioni, del principio di permanenza delle proprietà formali di Hankel e ridefinisce le condizioni alla base della costruzione degli ampliamenti numerici; con tale ridefinizione dei criteri da rispettare, ogni insieme ipercomplesso potrà ancora essere considerato un ampliamento degli insiemi numerici precedenti. Infine, prima per i quaternioni e poi in generale per ogni insieme ipercomplesso, descrive come è possibile ottenere una partizione di tali insiemi nell'insieme R dei numeri reali, rappresentabile ovviamente su una retta, e in infiniti altri insiemi rappresentabili in piani di Gauss privati dei punti degli assi reali (ruotati l'uno rispetto all'altro intorno all'origine O); in ognuno di tali infiniti sottoinsiemi continueranno a valere tutte le proprietà formali delle operazioni valide nell'insieme C1 dei numeri complessi e pertanto si potrà operare come si opera in tale insieme.

Il volume raccoglie sei articoli di cui uno inedito: "Sul principio di Hankel nell'insieme dei numeri complessi" e altri cinque già pubblicati sul Periodico di Matematiche, organo della Mathesis, tra il 2004 e il 2009: "Una spirale logaritmica aurea" (2004), "La successione di Fibonacci, il numero aureo, la spirale logaritmica aurea" (2005), "Spirali logaritmiche tridimensionali" (2006), "Sulle serie armoniche generalizzate" (2008), "Sulle serie alternate" (2009).

Il volume presenta un'analisi delle funzioni iperboliche. L'autore, partendo dall'estensione delle funzioni circolari dall'insieme R dei numeri reali all'insieme C dei numeri complessi, giunge alle definizioni delle funzioni iperboliche e verifica come tali definizioni determinino le note analogie tra le relazioni che legano tali funzioni e le relazioni corrispondenti che legano le funzioni circolari. Vengono introdotte quindi nuove funzioni, periodiche, che verranno chiamate funzioni iperboliche goniometriche, la cui variabile non è più il doppio t dell'area di un settore iperbolico (come per le funzioni iperboliche), ma l'ampiezza di un angolo a (come per le funzioni circolari). Vengono, infine, determinate le relazioni tra le funzioni iperboliche e le funzioni iperboliche goniometriche e tra i valori corrispondenti delle due variabili t e a, ottenendo alcune relazioni che sussistono tra le funzioni iperboliche goniometriche.

Nel testo sono descritti i passaggi che dalla formula di Eulero portano alle formule per il calcolo del logaritmo e della potenza in C. Allo stesso tempo analizza la questione della polidromia, che in generale si presenta quando si considerano operazioni che sono o che si ottengono da funzioni inverse di funzioni non invertibili nell’intero loro dominio, come ad esempio, in R, le inverse delle funzioni goniometriche o la radice n-esima con indice pari di numeri positivi. Arriva quindi alla conclusione che, con opportune restrizioni, logaritmo e potenza in C risultano coerenti con le stesse operazioni in R e pertanto possono essere considerate una loro naturale estensione da R a C.